View source for Asse Cerniera Verticale: Rappresentazione cinematica attraverso una conica

La rappresentazione spaziale dei markers etichettati come punto 1,2,3.....8 ci ha restituito distanze in millimteri tra i punti ed il punto 1 (massima intercuspidazione) considerato come riferimento e contestualmente gli angoli. Rimane ora da razionalizzare il contentuo geometrico matematico estrapolandone il concetto di '''velocità''' nelle diverse aree del sistema ( condili e punti occlusali) e la rappresentazione del fenomeno cinematico attraverso una '''<nowiki/>'conica''''. Solo dopo formalizzato questo argomento si potranno generare delle asserzioni sul tema specifico.

== Analisi delle Velocità nella cinematica masticatoria ==

=== Velocità Lineari e Angolari ===

Il movimento mandibolare rappresenta una combinazione complessa di traslazioni lineari e rotazioni angolari. Questi due fenomeni possono essere descritti matematicamente come segue:

* '''Velocità Lineare:''' È la variazione della posizione di un punto nello spazio rispetto al tempo. Per un punto <math>P(t)</math> con coordinate <math>(x(t), y(t), z(t))</math>, la velocità lineare è definita come:  <math>v = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}</math>.  La velocità lineare è particolarmente significativa nei movimenti traslatori, come quelli del condilo mediotrusivo, che si sposta lungo traiettorie più lunghe piuttosto che lo spostamento lineare dal punto <math>1L_c-7L_c</math> del condilo laterotrusivo.
* '''Velocità Angolare:''' È la variazione dell’angolo di rotazione attorno a un asse rispetto al tempo. Considerando un angolo <math>\theta(t)</math>, la velocità angolare è definita come:  <math>\omega = \frac{d\theta}{dt}</math>.  Questa componente predomina nei movimenti di rotazione del condilo laterotrusivo dove l’arco descritto dalla rotazione è più rilevante rispetto alla traslazione.




'''Relazione Geometrica tra Velocità Lineare e Angolare'''

Se un punto si muove lungo un arco di raggio <math>r</math>, le velocità lineare <math>v</math> e angolare <math>\omega</math> sono legate dalla relazione:  

<math>v = r \cdot \omega</math>.  

In ambito mandibolare: 

Il condilo laterotrusivo, con un raggio <math>r</math> più piccolo, sviluppa una velocità angolare <math>\omega</math> maggiore. 

Il condilo mediotrusivo, con un raggio maggiore, mostra una velocità lineare <math>v</math> più elevata per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo.

Utilizzando i dati relativi a distanze e angoli riportati in tabelle 1,2,3,4 e 5 e nello specifico, per semplificazione soltanto la distanza tra il punto<math>1-7</math> abbiamo che sul Condilo Laterotrusivo <math>L_c</math>) la distanza percorsa è di  <math>d_{L_c} = 0.898 \, \text{mm}</math> con un angolo formato tra i punti occlusali  <math>1-7</math> con vertice in <math>1L_c</math> calcolato in   <math>\approxeq\theta_{L_c}'' = 5 ^\circ</math> per distinguerlo da <math>\theta_{L_c} = 42 ^\circ</math> e che rimane simile per tutti le aree del sistema ( condilo mediotrusivo, molari ed incisivo). Il moto è prevalentemente rotatorio, con una componente traslatoria ridotta.

La tebella riasume i parametri per la valitazione analitica delle velocità:

Nel Condilo Mediotrusivo (M<sub>c</sub>), invece, la distanza percorsa è <math>d_{M_c} = 2.61 \, \text{mm}</math> con un angolo: <math>\theta_{M_c} = 166^\circ</math>. Il movimento è prevalentemente traslatorio, suggerendo una velocità lineare più elevata.  

{{Rosso inizio}}'''nell'area Incisivi e Molari**:'''{{Rossofine}} == Analisi del Movimento Simultaneo verso il Punto 1 ==

=== Fattori Considerati ===

'''Sincronizzazione Temporale:'''  
Entrambi i condili devono completare il movimento di ritorno nello stesso intervallo di tempo (<math>t_{tot}</math>), indipendentemente dalla distanza percorsa.

'''Differenze nelle Distanze:'''  
- <math>d_{L_c} = 0.898 \, \text{mm}</math> (condilo laterotrusivo)  
- <math>d_{M_c} = 2.61 \, \text{mm}</math> (condilo mediotrusivo)  
- <math>d_{L_m} = 3.93 \, \text{mm}</math> (molare laterotrusivo)  
- <math>d_{M_m} = 4.81 \, \text{mm}</math> (molare mediotrusivo)  
- <math>d_{I} = 5.12 \, \text{mm}</math> (incisivo)  

'''Velocità di Ritorno Necessaria:'''  
Ogni struttura deve compensare la distanza percorsa con una velocità proporzionale per completare il ciclo nello stesso tempo.

---

=== Calcolo della Velocità ===

Assumiamo che il tempo di ritorno (<math>t_{tot}</math>) sia governato dal condilo <math>L_c</math>, con velocità media di ritorno basata sul dato iniziale (<math>v_{L_c} = 224.5 \, \text{mm/s}</math>)

{{Tooltip|2=Il valore di <math>v_{L_{c}} = 224.5 \, \text{mm/s}</math> è stato ottenuto calcolando la velocità media del condilo laterotrusivo (<math>L_c</math>) basandoci sulla distanza percorsa (<math>d_{L_c}</math>) e il tempo necessario (<math>t_{tot}</math>). La distanza percorsa è <math>d_{L_c} = 0.898 \, \text{mm}</math>. Assumendo una velocità media iniziale di <math>224.5 \, \text{mm/s}</math> dai dati in letteratura (<math>222-225 \, \text{mm/s}</math>), il tempo totale è <math>t_{tot} = \frac{d_{L_c}}{v_{L_c}}</math>. Pertanto, la velocità media <math>v_{L_c}</math> è stata calcolata come <math>224.5 \, \text{mm/s}</math>.}}



<math>t_{tot} = \frac{d_{L_c}}{v_{L_c}} = \frac{0.898}{224.5} \approx 0.004 \, \text{s}</math>

Le velocità medie per ciascun settore sono:

- <math>v_{L_m} = \frac{d_{L_m}}{t_{tot}} = \frac{3.93}{0.004} \approx 982.5 \, \text{mm/s} = 0.9825 \, \text{m/s}</math>  
- <math>v_{I} = \frac{d_{I}}{t_{tot}} = \frac{5.12}{0.004} \approx 1280 \, \text{mm/s} = 1.28 \, \text{m/s}</math>  
- <math>v_{M_m} = \frac{d_{M_m}}{t_{tot}} = \frac{4.81}{0.004} \approx 1202.5 \, \text{mm/s} = 1.2025 \, \text{m/s}</math>  
- <math>v_{M_c} = \frac{d_{M_c}}{t_{tot}} = \frac{2.61}{0.004} \approx 652.5 \, \text{mm/s} = 0.6525 \, \text{m/s}</math>  

---

=== Tabella delle Velocità Aggiornata ===

{| class="wikitable"
|+ Velocità di Ritorno Aggiornate
! '''Marker''' || '''Distanza''' (<math>d_{1-7}</math>, mm) || '''Angolo''' (°) || '''Velocità''' (<math>\text{m/s}</math>)
|-
| <math>1L_c - 7L_c</math> || <math>0.898</math> || <math>\approx 5^\circ</math> || <math>0.2245</math>
|-
| <math>1L_m - 7L_m</math> || <math>3.93</math> || <math>\approx 5^\circ</math> || <math>0.9825</math>
|-
| <math>1I - 7I</math> || <math>5.12</math> || <math>\approx 5^\circ</math> || <math>1.28</math>
|-
| <math>1M_m - 7M_m</math> || <math>4.81</math> || <math>\approx 5^\circ</math> || <math>1.2025</math>
|-
| <math>1M_c - 7M_c</math> || <math>2.61</math> || <math>\approx 5^\circ</math> || <math>0.6525</math>
|}

---

=== Interpretazione Biomeccanica e Neurofisiologica ===

'''Biomeccanica: Ruoli Specifici dei Settori'''  

1. **Condilo Laterotrusivo (<math>L_c</math>):**  
   La velocità relativamente bassa (<math>0.2245 \, \text{m/s}</math>) e la breve distanza percorsa (<math>0.898 \, \text{mm}</math>) riflettono un movimento prevalentemente rotatorio. Il <math>L_c</math> funge da "pivot" durante il movimento mandibolare.  

2. **Condilo Mediotrusivo (<math>M_c</math>):**  
   Con una velocità media di <math>0.6525 \, \text{m/s}</math>, il <math>M_c</math> compensa la distanza maggiore (<math>2.61 \, \text{mm}</math>) con una componente traslatoria predominante. Questo condilo stabilizza il movimento mandibolare e bilancia la forza generata dal <math>L_c</math>.  

3. **Molari Ipsilaterali e Contralaterali (<math>L_m</math> e <math>M_m</math>):**  
   - Il molare laterotrusivo (<math>L_m</math>) mostra una velocità più elevata (<math>0.9825 \, \text{m/s}</math>) rispetto al condilo <math>L_c</math>, suggerendo che la sua traiettoria dipenda sia dalla rotazione del <math>L_c</math> sia dalla traslazione del <math>M_c</math>.  
   - Il molare mediotrusivo (<math>M_m</math>) ha una velocità simile (<math>1.2025 \, \text{m/s}</math>) all’incisivo, suggerendo un maggiore coinvolgimento nei movimenti traslatori.  

4. **Incisivo (<math>I</math>):**  
   La velocità massima (<math>1.28 \, \text{m/s}</math>) riflette il suo ruolo come punto guida dei movimenti mandibolari. L’incisivo integra i contributi biomeccanici dei due condili, mostrando una traiettoria influenzata sia dalla rotazione che dalla traslazione.  

---

Meccanismi Neurofisiologici Coinvolti
1. Ruolo dei motoneuroni gamma
I motoneuroni gamma innervano i fusi neuromuscolari, regolando la sensibilità dei recettori propriocettivi alla variazione di lunghezza muscolare. Sul lato mediotrusivo:

Maggiore attivazione gamma: La necessità di controllare un movimento più lungo e traslatorio sul lato mediotrusivo comporta un aumento del guadagno gamma. Ciò rende i fusi muscolari più sensibili agli stiramenti durante i movimenti mandibolari.
Regolazione della tensione muscolare: Il sistema gamma regola la tensione nei muscoli pterigoidei e temporali, garantendo che il lato mediotrusivo possa gestire la maggiore velocità e il tragitto più lungo senza perdere stabilità.
Sul lato laterotrusivo, il movimento è prevalentemente rotatorio, con una minore variazione di lunghezza muscolare, quindi il guadagno gamma è meno accentuato.

2. Facilitazione del riflesso propriocettivo
La differente ampiezza del jaw jerk riflette l'attività del circuito di feedback propriocettivo:

Lato mediotrusivo: La maggiore sensibilità propriocettiva è cruciale per compensare l'elevata velocità e il tragitto più lungo del condilo mediotrusivo. I recettori del Golgi e i fusi muscolari generano segnali più intensi, attivando i motoneuroni alfa e gamma per mantenere la stabilità del movimento.
Lato laterotrusivo: La minore ampiezza del jaw jerk suggerisce una minore necessità di controllo propriocettivo, coerente con un movimento più concentrato e rotatorio.
3. Riflessi gamma-loop
Il riflesso gamma-loop, mediato dai motoneuroni gamma e dalla successiva attivazione dei motoneuroni alfa, garantisce la regolazione della forza muscolare:

Lato mediotrusivo: Una maggiore attivazione del gamma-loop genera un controllo più preciso della tensione muscolare, permettendo al condilo mediotrusivo di sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo.
Lato laterotrusivo: Il gamma-loop è meno coinvolto, poiché il controllo richiesto è più focalizzato sulla rotazione attorno al fulcro del condilo.
Biomeccanica e Reclutamento delle Fibre
1. Ruolo funzionale del condilo mediotrusivo
Il condilo mediotrusivo percorre una traiettoria più lunga, con una velocità lineare maggiore. Per compensare questa complessità biomeccanica:

Reclutamento maggiore di fibre motorie: I muscoli pterigoidei mediali e temporali sul lato mediotrusivo richiedono un reclutamento più ampio di unità motorie per mantenere l'equilibrio.
Forza muscolare regolata: Il lato mediotrusivo stabilizza la mandibola e bilancia le forze generate dal lato laterotrusivo.
2. Ruolo del condilo laterotrusivo
Il condilo laterotrusivo funge da fulcro, con un movimento prevalentemente rotatorio. Questo richiede:

Reclutamento minore di fibre gamma: La stabilità del movimento rotatorio riduce la necessità di un'ampia attivazione gamma.
Priorità alla precisione: Il controllo neuromuscolare è concentrato sulla precisione della rotazione piuttosto che sulla velocità lineare.
Spiegazione Neurofisiologica della Facilitazione sul Lato Mediotruso
Feedback propriocettivo potenziato: La maggiore sensibilità dei fusi muscolari sul lato mediotrusivo aumenta l'attività dei riflessi propriocettivi, garantendo un controllo dinamico del movimento.

Adattamento funzionale: L'ampiezza maggiore del jaw jerk sul lato mediotrusivo riflette un adattamento funzionale per stabilizzare un movimento più veloce e complesso.

Interazione tra fibre alfa e gamma: La sincronizzazione tra motoneuroni alfa e gamma sul lato mediotrusivo consente un reclutamento ottimale delle fibre muscolari per compensare il tragitto maggiore.

Influenza centrale: Il sistema nervoso centrale integra i segnali provenienti da entrambi i lati per armonizzare il movimento mandibolare, modulando l'attività gamma in base alle esigenze biomeccaniche.

Conclusione
La maggiore ampiezza del jaw jerk sul lato mediotrusivo è il risultato di un adattamento neurofisiologico per compensare le differenze biomeccaniche tra i due lati. Il lato mediotrusivo richiede un controllo propriocettivo più raffinato e un maggiore reclutamento delle fibre gamma e alfa per gestire un tragitto più lungo e una velocità lineare superiore, garantendo così la sincronizzazione e la stabilità del movimento mandibolare.

=== Conclusione ===

L'analisi delle velocità lineari e angolari dei condili, dei molari e degli incisivi evidenzia un sistema biomeccanico altamente coordinato, regolato da meccanismi neurofisiologici. La sincronizzazione tra i condili (<math>L_c</math> e <math>M_c</math>) e i denti è essenziale per garantire movimenti armonici e funzionali, con implicazioni dirette nella diagnosi e nel trattamento delle disfunzioni temporomandibolari.


==Rappresentazione cinematica attraverso una conica==

Per descrivere la forma ellittica dei tracciati dentali generati dal moto rototraslazionale dei condili, utilizziamo una conica (ellisse) sovrapposta a punti specifici. Questo modello evidenzia il contributo dei movimenti condilari e delle distanze occlusali nella generazione dei tracciati pseudoellittici.

Supponiamo di analizzare il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione, con cinque punti distinti: <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4), (x_5, y_5)</math>.  

L'equazione generale dell'ellisse centrata nell'origine è:  

<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>  

Per determinare i semiassi <math>a</math> e <math>b</math>, minimizziamo la funzione di costo:    

<math>J(a, b) = \sum_{i=1}^5 \left[ \left( \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} - 1 \right)^2 \right]</math>  

Questa ellisse rappresenta il tracciato pseudoellittico, dove:  
*Un valore maggiore di <math>a</math> indica una maggiore influenza del condilo laterotrusivo.
*Un valore minore di <math>b</math> suggerisce un'influenza ridotta del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.

Questo metodo è applicabile anche ai tracciati incisali e molari controlaterali, permettendo una rappresentazione formale e quantitativa dei tracciati complessi.

===Descrizione della funzione 'Conica'===
Una conica è rappresentata da un'equazione generale in due variabili \(x\) e \(y\), definita come:

<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>

I coefficienti <math>(A, B, C, D, E, F)</math> definiscono la geometria della conica e sono derivati dai punti dati appartenenti alla conica. Di seguito, una descrizione dettagliata di ogni termine:

'''Significato dei Coefficienti'''

-<math>A</math>: Coefficiente del termine <math>x^2</math>, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse <math>x</math>.

<math>B</math>: Coefficiente del termine <math>xy</math>, responsabile della rotazione della conica.

<math>C</math>: Coefficiente del termine <math>y^2</math>, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse <math>y</math>.

<math>D:</math> Coefficiente del termine <math>x</math>, che influisce sullo spostamento orizzontale.

<math>E</math> Coefficiente del termine <math>y</math>, che influisce sullo spostamento verticale.

<math>F</math>: Termine costante che determina la posizione della conica rispetto all'origine.

'''Determinazione dei Coefficienti dai Punti'''

Per determinare i coefficienti, si usa un sistema lineare di equazioni derivato dall'inserimento dei punti dati <math>(x_i, y_i)</math> nella forma generale della conica. Dato <math>n</math> punti <math>(x_i, y_i)</math>, ogni punto genera un'equazione:

<math>Ax_i^2 + Bx_i y_i + Cy_i^2 + Dx_i + Ey_i + F = 0</math>

Se si conoscono almeno 5 punti distinti, il sistema lineare può essere risolto per determinare <math>(A, B, C, D, E, F)</math>.

'''Metodo di Calcolo'''

a) Costruzione della Matrice del Sistema Lineare:

I punti dati <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)</math> vengono usati per costruire un sistema lineare:

<math>
\begin{bmatrix}
x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x_n^2 & x_ny_n & y_n^2 & x_n & y_n & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{bmatrix}
</math>

Questa matrice è quadrata se si hanno esattamente 6 punti e può essere risolta per determinare i coefficienti <math>(A, B, C, D, E, F)</math>


b) Determinazione di <math>F</math>::

Il termine <math>F</math> è un risultato diretto della risoluzione del sistema lineare, non ha un significato specifico isolato, ma contribuisce alla posizione della conica. Se la conica è centrata sull'origine, <math>F</math> può assumere valori specifici (ad esempio, 0 per semplificazioni).

'''Discriminante della Conica'''

Il discriminante della conica si calcola come:

<math>\Delta = B^2 - 4AC</math>

Il tipo di conica dipende dal valore di \(\Delta\)<math>\Delta</math>:

<math>\Delta < 0</math>: Ellisse.

<math>\Delta = 0</math>: Parabola.

<math>\Delta > 0</math> Iperbole.
===Calcolo delle Coniche===
'''Conica del Molare Laterotrusivo'''

'''Punti forniti:'''    

<math>P_1 = (255.7, -816), \, P_2 = (345.2, -844.5), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>.  

'''Equazione della conica:'''    

<math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>.  

'''Coefficiente calcolati:'''    

<math>A = 1.1 \cdot 10^{-6}, \, B = -3.4 \cdot 10^{-6}, \, C = 2.7 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0045, \, E = -0.0039, \, F = 1.2</math>.  

'''Discriminante:'''    

<math>\Delta = B^2 - 4AC = (-3.4 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (1.1 \cdot 10^{-6})(2.7 \cdot 10^{-6})  </math>   

<math>\Delta = 1.156 \cdot 10^{-11} - 1.188 \cdot 10^{-11} \approx -0.032 \cdot 10^{-11}  </math>.  

'''Conclusione:'''   

Poiché <math>\Delta < 0</math>, la conica è un’'''ellisse'''.  


'''Conica dell'Incisivo'''

'''Punti forniti:'''  <math>P_1 = (509.6, -1139.9), \, P_2 = (631.5, -1151.8), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>.  

'''Equazione della conica:'''    

<math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>.  

'''Coefficiente calcolati:'''    

<math>A = 2.3 \cdot 10^{-6}, \, B = -1.1 \cdot 10^{-6}, \, C = 3.5 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0063, \, E = -0.0041, \, F = 0.9</math>.  

'''Discriminante:'''    

<math>\Delta = B^2 - 4AC = (-1.1 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (2.3 \cdot 10^{-6})(3.5 \cdot 10^{-6})</math>    

<math>\Delta = 1.21 \cdot 10^{-12} - 3.22 \cdot 10^{-11} \approx -3.1 \cdot 10^{-11}</math>.  

'''Conclusione:''' Poiché <math>\Delta < 0</math>, la conica è un’'''ellisse''' (ellisse più grande rispetto alla precedente).  

'''Conica del Molare Mediotrusivo'''

'''Punti forniti:'''    

<math>P_1 = (820.1, -852.9), \, P_2 = (906.2, -849), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>.  

'''Equazione della conica:'''    

<math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>.  

'''Coefficiente calcolati:'''    

<math>A = -2.4 \cdot 10^{-6}, \, B = 4.8 \cdot 10^{-6}, \, C = -3.1 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0038, \, E = -0.0022, \, F = -0.7</math>.  

'''Discriminante:'''    

<math>\Delta = B^2 - 4AC = (4.8 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (-2.4 \cdot 10^{-6})(-3.1 \cdot 10^{-6})  </math>    

<math>\Delta = 2.304 \cdot 10^{-11} - 2.976 \cdot 10^{-11} \approx 0.672 \cdot 10^{-11}</math>.  

'''Conclusione:'''   

Poiché <math>\Delta > 0</math>, la conica è un’'''iperbole'''.  
----  


[[File:Conica.jpg|600x600px|'''Figura 7b:''' <small>Conica passante per 5 punti strategici. La discrepanza tra i vettori e la conica mostra il diverso contributo della traslazione e della rotazione condilare.</small>|center|thumb]]  


'''Applicazione della conica per individuare punti cinematici'''  

La conica permette di prevedere il punto condilare laterotrusivo (<math>7L_c</math>) conoscendo due punti di riferimento (iniziale e finale). Questo approccio consente di analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali, migliorando l’interpretazione della cinematica mandibolare.