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===3.3. Nicht-projektive Zustandsaktualisierung: atomare Instrumente===

Im Allgemeinen werden die statistischen Eigenschaften jeder Messung dadurch gekennzeichnet

#die Ausgabewahrscheinlichkeitsverteilung <math display="inline">Pr\{\text{x}=x\parallel\rho\}</math> , die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ausgabe <math display="inline">x</math>der Messung im Eingangszustand <math display="inline">\rho
</math>
#die Quantenzustandsreduktion <math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(X=x)}
</math> , die Zustandsänderung vom Eingangszustand <math display="inline">\rho
</math> zum Ausgangszustand <math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(X=x)}
</math>abhängig vom Ergebnis <math display="inline">\text{X}=x
</math> der Messung.

In von Neumann’s formulation, the statistical properties of any measurement of an observable  is uniquely determined by Born’s rule (5) and the projection postulate (6), and they are represented by the map (9), an instrument of von Neumann type. However, von Neumann’s formulation does not reflect the fact that the same observable  represented by the Hermitian operator  in <math display="inline">\mathcal{H}</math> can be measured in many ways.8 Formally, such measurement-schemes are represented by quantum instruments. 


In von Neumanns Formulierung werden die statistischen Eigenschaften jeder Messung einer Observablen eindeutig durch die Bornsche Regel (5) und das Projektionspostulat (6) bestimmt, und sie werden durch die Karte (9), ein Instrument vom Typ von Neumann, dargestellt. Die Formulierung von von Neumann spiegelt jedoch nicht die Tatsache wider, dass dieselbe Observable  dargestellt durch den hermiteschen Operator <math>\hat{A}</math> In <math>A</math>kann auf vielfältige Weise gemessen werden.8 Formal werden solche Messschemata durch Quanteninstrumente repräsentiert. 

Wir betrachten die einfachsten Quanteninstrumente vom Nicht-von-Neumann-Typ, die als atomare Instrumente bekannt sind. Wir beginnen mit der Erinnerung an den Begriff POVM (Probability Operator Valued Measure); wir beschränken Betrachtungen auf POVMs mit einem diskreten Definitionsbereich <math display="inline">X=\{x_1....,x_N.....\}</math> . POVM ist eine Karte <math display="inline">x\rightarrow \hat{D}(x)</math> so dass für jeden  , ist ein positiver kontraktiver hermitescher Operator (Effekt genannt) (d. h.  <math display="inline">\hat{D}(x)^*=\hat{D}(x), 0\leq \langle\psi|\hat{D}(x)\psi\rangle\leq1</math> oder irgendein <math display="inline">x\in X</math>, <math display="inline">\psi\in\mathcal{H}</math> ) und die Normalisierungsbedingung 

<math display="inline">\sum_x \hat{D}(x)=I</math> 

hält, wo <math display="inline">I</math> ist der Einheitsoperator. Es wird davon ausgegangen, dass für jede Messung die Wahrscheinlichkeitsverteilung ausgegeben wird  

<math display="inline">Pr\{\text{x}=x||\rho\}</math> wird von gegeben
{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math display="inline">Pr\{\text{x}=x||\rho\}=Tr [\hat{D}(x)\rho]</math>
| width="33%" align="right" |<math>(10)</math>
|}
 
Wo <math display="inline"> \hat{D}(x)</math> ist ein POVM. Bei atomaren Instrumenten wird davon ausgegangen, dass Wirkungen konkret in der Form dargestellt werden 

{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math display="inline"> \hat{D}(x)=\hat{V}(x)^*\hat{V}(x)</math>
| width="33%" align="right" |<math>(11)</math>
|}
 
Wo <math display="inline"> {V}(x)</math> ist ein linearer Operator in <math display="inline">\mathcal{H}</math>. Die Normierungsbedingung hat also die Form <math display="inline">\sum_x V(x)^*V(x)=I</math>.9 Die Born-Regel kann ähnlich wie (5) geschrieben werden: 

{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math display="inline">Pr\{\text{x}=x||\rho\}=Tr [{V}(x)\rho{V}^*(x)]</math>
| width="33%" align="right" |<math>(12)</math>
|}

Es wird angenommen, dass die Zustandstransformation nach der Messung auf der Karte basiert: 

{| width="80%" |
|-
| width="33%" |'''<big>*</big>'''
| width="33%" |<math display="inline">\rho\rightarrow\mathcal{L_A(x)\rho=V(X)\rho V^*(x)}</math>
| width="33%" align="right" |<math>(13)</math>
|}

die Quantenzustandsreduktion ist also gegeben durch 

{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;'''<big>*</big>'''
| width="33%" |<math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(\text{x}=x)}=\frac{\mathcal{L}_A(x) \rho}{Tr[\mathcal{L}_A(x)\rho]}</math>
| width="33%" align="right" |<math>(14)</math>
|}


The map  given by (13) is an atomic quantum instrument. We remark that the Born rule (12) can be written in the form 

Die Karte <math>x\rightarrow\mathcal{L_A(x)}</math> gegeben durch (13) ist ein atomares Quanteninstrument. Wir bemerken, dass die Born-Regel (12) in der Form geschrieben werden kann 

{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;&nbsp;'''<big>*</big>'''
| width="33%" |<math display="inline">Pr\{\text{x}=x||\rho\}=Tr [\Im_A(x)\rho]</math>
| width="33%" align="right" |<math>(15)</math>f
|}


Let  be a Hermitian operator in . Consider a POVM  with the domain of definition given by the spectrum of . This POVM represents a measurement of observable   if Born’s rule holds: 

Lassen <math>\hat{A}</math> sei ein hermitescher Operator in <math display="inline">\mathcal{H}</math>. Betrachten Sie eine POVM <math display="inline"> \hat{D}=\biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math> mit dem Definitionsbereich, der durch das Spektrum von gegeben ist <math>\hat{A}</math>. Dieses POVM repräsentiert eine Messung von Observable <math>A</math> wenn die Bornsche Regel gilt: 

{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math display="inline">Pr\{\text{A}=x||\rho\}=Tr [\widehat{D}^A(x)\rho]=Tr[\widehat{E}^A(x)\rho]</math>
| width="33%" align="right" |<math>(16)</math>
|}
 
Somit sind im Prinzip Ergebniswahrscheinlichkeiten immer noch in der spektralen Zerlegung von Operatoren kodiert <math>\hat{A}</math> oder mit anderen Worten Operatoren <math display="inline"> \biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math> sollten so gewählt werden, dass sie die Wahrscheinlichkeiten erzeugen, die der spektralen Zerlegung der symbolischen Darstellung entsprechen <math>\hat{A}</math> von Observablen <math>A</math>, d. h., <math display="inline"> \biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math> ist eindeutig bestimmt durch <math>\hat{A}</math> als <math display="inline"> \hat{D}^A(x)=\hat{E}^A(x)</math>. Wir können sagen, dass dieser Operator im Gegensatz zum Operator des von Neumann-Schemas nur Informationen über die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen enthält <math>\hat{A}</math> codiert nicht die Regel der Zustandsaktualisierung. Bei einem atomaren Instrument Messungen des Observablen <math>A</math> hat die eindeutige Ausgabewahrscheinlichkeitsverteilung nach der Bornschen Regel (16), hat aber viele verschiedene Quantenzustandsreduktionen, abhängig von der Zerlegung des Effekts <math display="inline"> \hat{D}(x)=\hat{E}^A(x)=V(x)^*V(x)</math> Sodass 

{| width="80%" |
|-
| width="33%" |&nbsp;
| width="33%" |<math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(\text{A}=x)}=\frac{{V}(x) \rho V(x)^*}{Tr[{V}(x)\rho V(x)^*]}</math>
| width="33%" align="right" |<math>(17)</math>
|}
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