Asse Cerniera trasversale

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Asse Cerniera trasversale

 

Article by  Gianni Frisardi · Flavio Frisardi

 

_tHA transverse HInge Axis

Filosofia Scientifica e Implicazioni Cliniche

Nel capitolo precedente, "Analisi dei movimenti mandibolari. Parte 1: Replicatore elettrognatografico", è stata evidenziata la disconnessione tra clinici e le basi bioingegneristiche degli strumenti diagnostici come i replicatori cinematici. Tale disconnessione è particolarmente evidente con strumenti datati come il Sirognathograph e il Kinesiograph K7,, strumenti clinici comuni che, nonostante l’uso diffuso, non riescono a riprodurre fedelmente i movimenti tridimensionali della mandibola. Questi strumenti presentano una limitazione importante: perdono tre gradi di libertà angolari, con due che potrebbero teoricamente essere recuperati e uno, relativo all'asse $Y$, che resta indefinibile. Questo pone un problema più ampio, ovvero il rischio che l'innovazione tecnologica, spinta dai cicli industriali, crei strumenti che non riflettono pienamente la complessità della realtà biofisica. Sarebbe pertanto auspicabile che i professionisti collaborassero con centri di ricerca per valutare criticamente questi dispositivi prima del loro impiego. Un’adozione basata unicamente sulla reputazione del produttore ha portato al fenomeno del Research Diagnostic Criteria "RDC", nato per eliminare metodi e strumenti con bassa validità clinica. In questo capitolo verrà approfondito il concetto di "Asse Cerniera" o "Hinge Axis" $HA$ condilare, un argomento ampiamente studiato e dibattuto che continua a sollevare domande riguardanti la sua reale utilità clinica e diagnostica. La determinazione dell'asse cerniera è stata tradizionalmente effettuata attraverso metodi descritti inizialmente da McCollum, e successivamente perfezionati negli anni. Questo metodo, noto come "metodo cinematico pantografico", utilizza come parametro chiave la lunghezza del segmento di apertura mandibolare, fornendo un'accuratezza generalmente accettabile, sebbene non esente da errori.

Con lo sviluppo di sistemi di registrazione elettronici come il SICAT JMT e lo Zebris JMA, la precisione nella determinazione dell'asse cerniera è migliorata, riducendo i tempi di regolazione e aumentando potenzialmente l'accuratezza fino a $\pm 1$ ${\textstyle mm}$. Tuttavia, resta il dubbio se il movimento iniziale di apertura della mandibola sia puramente rotatorio o combinato con una traslazione.

«Filosofia Scientifica o moda speculativa?»
(...forse la realtà sfugge alla nostra limitata competenza bioingegneristica, e i modelli statistici non sono in grado di rivelarne i limiti strumentali.)

Occlusal Clutch ed errori cuspidali

Ci concentreremo dapprima, perciò, sulla filosofia scientifica alla base del concetto di asse cerniera trasversale, comunemente proiettato su un piano sagittale e indicato con l'etichetta '$_{t}HA$'. L'obiettivo principale è stabilire se questo concetto debba continuare a essere utilizzato come riferimento nelle pratiche riabilitative masticatorie, o se debba essere rivisto o abbandonato per evitare errori nella pratica clinica. come asserisci lo RDC. Un aspetto chiave da esplorare è il fenomeno della rototraslazione, un elemento fondamentale della cinematica mandibolare. Questo movimento complesso sarà analizzato attraverso esempi pratici e figure esplicative, che illustreranno come l'uso di strumenti quali il cucchiaio paraocclusale, possa evitare l'incorporazione di errori significativi nella registrazione dei movimenti mandibolari e nella dinamica occlusale. La precisione nella determinazione dei movimenti mandibolari è cruciale non solo per garantire la correttezza dei trattamenti riabilitativi ma anche per evitare discrepanze nei restauri protesici. Piccole variazioni, se non considerate adeguatamente, possono compromettere la registrazione dei movimenti e, di conseguenza, alterare la funzionalità della riabilitazione. Verrà illustrato un metodo di registrazione dei tracciati condilari utilizzando il bloccaggio con un cucchiaio paraocclusale, che ha il vantaggio di non alterare la relazione verticale tra le arcate dentarie. Questo metodo verrà confrontato con il montaggio di un cucchiaio occlusale, per evidenziare le differenze tra i due approcci.

• Figura 1: Per determinare con precisione un centro geometrico di rotazione o, più accuratamente, di rototraslazione, è necessario collegare una mina scrivente a un telaio fissato alla mandibola. Questo sistema segue i movimenti mandibolari durante i cicli masticatori, tracciando un percorso su una piastrina perpendicolare fissata a un supporto rigido sul cranio. Tale connessione viene generalmente effettuata tramite cementazione di un cucchiaio intraorale, chiamato cucchiaio occlusale.

• Figura 2: La figura mostra un tipico cucchiaio paraocclusale, che non interferisce con la superficie occlusale del mascellare, permettendo così di ottenere la massima intercuspidazione senza provocare un rialzo verticale o una rototraslazione del condilo articolare.

• Figura 3 : La figura riporta il tracciato generato dal movimento di apertura e chiusura mandibolare, e dalla mediotrusione sinistra con l'uso di un cucchiaio paraocclusale. Alcuni punti chiave sono i seguenti:

Primo punto: Un punto rosso situato su una linea orizzontale rappresentante il piano 'Asse-orbitale'. Questo punto corrisponde all'asse cerniera guidata ed è etichettato come $P_{c}$ (Paraocclusal clutch), con un riferimento orbitale indicato come $O_{p}$ OP (Orbital point). Il punto rosso rappresenta approssimativamente l'asse $_{t}HA$.

Secondo punto: Un altro punto, localizzato a circa 2 mm in protrusione, corrisponde a un'apertura mandibolare di circa 4 mm, misurata sugli incisivi, e dovuta all'uso di un cucchiaio occlusale tra le arcate. Questo punto è etichettato come $O_{c}$ (Occlusal Clutch).

Terzo punto: Alla fine del tracciato di apertura mandibolare si trova il punto $H$.

Da questi punti strategici, si possono trarre importanti considerazioni sulla determinazione dell'asse cerniera con l'uso di un cucchiaio paraocclusale oppure occlusale. Nella Figura 3 è stata tracciata una linea da $P_{c}$ a $H$, che rappresenta l'angolo dell'Eminenza Articolare, calcolato con Geogebra e che restituisce un valore di $41.69^{\circ }$ rispetto a un angolo di $50.20^{\circ }$ per la linea tracciata tra $O_{c}$ e $H$.

La scelta di utilizzare un $P_{c}$ oppure un $O_{c}$ può generare un errore significativo, con una variazione angolare di $8.51^{\circ }$, che può raggiungere fino a $10^{\circ }$, come indicato da Oliver Schierz et al. Questo errore si trasferisce alla fase protesica generando una discrepanza spaziale nella posizione cuspidale.

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  Figura 1: Assiografia eseguita attraverso bloccaggio con cucchiaio occlusale

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  Figura 2: Cucchiaio paraocclusale

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  Figura 3: Rappresentazione delle discrepanze angolari dovute all’impiego di un cucchiaio paraocclusale $P_{c}$e occlusale $O_{c}$

Errore di localizzazione $_{t}HA$ da corda $s$ e sagitta $h$

Per ottenere una determinazione accurata dell'asse di rotazione mandibolare, viene scelta la rotazione di apertura più ampia possibile. La letteratura descrive valori di apertura della bocca tra 7 e 18 mm, durante i quali si verifica una rotazione quasi pura prima che inizi un ulteriore movimento traslazionale. Sebbene sia discutibile se una apertura di 15 mm rappresenti davvero una rotazione pura, questo valore può essere considerato il limite superiore per una rilevazione ottimale dell'asse di cerniera. Il raggio del movimento, in particolare del punto incisale, può essere calcolato utilizzando il triangolo di Bonwill medio, che misura circa 90,7 mm. Con questo raggio e un'apertura di 15 mm, l'angolo di apertura corrisponde a circa 9,5 gradi. Le simulazioni e i calcoli sono stati implementati in Python, e i risultati sono stati visualizzati geometricamente in Geogebra per una rappresentazione spaziale visiva ed una migliore comprensione del fenomeno. Qualsiasi movimento di apertura registrato da un dispositivo di misurazione adeguato descriverà un percorso che giace su un segmento di arco di cerchio. Il compito è determinare il raggio di questo movimento o, più precisamente, la posizione del centro di rotazione.

Nel nostro caso (Figura 4), è possibile identificare due archi di cerchio e un centro di rotazione corrispondente all'arco di cerchio generato da un'apertura mandibolare con retrusione forzata. L'arco in cui è stato trovato un centro presumibilmente preciso di rotazione pura, o meglio "relativamente pura" si genera mantenendo la mandibola forzatamente retrusa in modo che ruoti attorno al legamento temporomandibolare minimizzando così la traslazione dell'articolazione temporomandibolare (ATM). Questa manovra permette di distinguere l'andamento rototraslatorio che si verifica in assenza di una retrusione forzata e/o guida manuale (rappresentato dall'arco sottostante). In Figura 4, infatti, i tracciati differiscono significativamente perché il secondo (più in basso) incorpora simultaneamente rotazione e traslazione.

Quando si misura qualcosa, come la distanza tra due punti su un cerchio, la misurazione non è sempre perfetta; piccoli errori o "rumori" possono influenzare il risultato. Vogliamo esplorare come questi piccoli errori possano compromettere la stima di una misura che dovrebbe essere precisa. La figura 5 e l'ulteriore script in Python migliora la rappresentazione. Questo tipo di analisi è utile perché ci permette di valutare l'affidabilità delle nostre misurazioni in situazioni reali, dove esistono sempre piccole imprecisioni. È particolarmente rilevante in campi come la biomeccanica o l'ingegneria, dove le misurazioni devono essere molto precise.

Teoricamente, il raggio può essere ricalcolato dal movimento di apertura simile a un cerchio utilizzando la corda $s$ e la freccia (altezza) $h$ (Figura 5). Da questi valori, si può calcolare il raggio della circonferenza inscritta nell'arco di cerchio di rotazione pura, costruito fisicamente sulla piastrina ed etichettato con $0$ e calcolato con Geogebra per verificarne le discrepanze $0_{1}$.

Dai dati ottenuti con Geogebra, è possibile costruire, in primo luogo, il raggio di $0_{1}$ (apertura forzata in retrusione, presumibilmente rotatoria) e, ovviamente, determinare i centri di rotazione. Il formalismo matematico per ottenere ciò è il seguente:

$r_{calc}={\frac {4h+s^{2}}{8h}}$

Sostituendo $s$ e $h$ con i valori ottenuti da Geogebra, abbiamo ottenuto un errore massimale nella localizzazione del Centro $0_{1}$ di $\cong 4.95$ ${\textstyle mm}$ a un percentile del $72\%$ (vedi Figura 6). Misurando la distanza con Geogebra tra i centri $0_{1}$ e $0$, risulta essere $\Delta =1.73$ ${\textstyle mm}$, che corrisponde a un errore del 30% rispetto al massimale di $\cong 4.95$. Questo significa che, localizzando visivamente e manualmente il centro di rotazione, si può commettere un errore di circa $\cong 1.73$ ${\textstyle mm}$ m rispetto ad un caloclo matematico sul tracciato di apertura e chiusura mandibolare.

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  Figura 4: Tracciati assiografica di apertura e chiusura della bocca in retrusione forzata ( arco di cerchio a sinistra della finestra) e guidata ( sottostante). In seguito verranno descritti più dettagliatamente i tracciati.

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  Figura 5: Determinazione dei parametri $s$ ed $h$ necessari per generare un centro di rotazione.

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  Figura 6: Discrepanza tra asse cerniera generato visivamente dall'operatore e matematicamente in Geogebra.

Formalismo matematico: Errore localizzazione HA da corda $s$ e sagitta $h$

Lo script simula l'effetto del rumore nella misurazione della distanza tra un punto fisso e un asse di cerniera (Hinge Axis). Viene generata una distribuzione degli errori causati dal rumore aggiunto ai dati, e si analizza il 72° percentile di questi errori.

Il raggio ($r$) è il raggio del cerchio su cui si trova il punto iniziale, dato da $r=26.30$ mm. La lunghezza dell'arco $s$ è la lunghezza dell'arco su cui si muove il punto, pari a $s=12.02$ mm. L'angolo $\alpha$ è l'angolo corrispondente all'arco, in radianti, calcolato come:

$\alpha ={\frac {s}{r}}$

$r_{\text{var}}$: è la distanza del punto di partenza dall'asse di cerniera, pari a $r_{\text{var}}=26.30$ mm. Per calcolare i punti di partenza e fine, si procede calcolando il punto $p_{\text{start}}$, situato a distanza $r_{\text{var}}$ sull'asse $x$:

$p_{\text{start}}={\begin{pmatrix}r_{\text{var}}\\0\end{pmatrix}}$

Il punto terminale $p_{\text{end}}$ viene definito come il punto finale dopo la rotazione di un angolo $\alpha$, calcolato come:

$p_{\text{end}}={\begin{pmatrix}r_{\text{var}}\cos(\alpha )\\r_{\text{var}}\sin(\alpha )\end{pmatrix}}$

La lunghezza della corda $s_{\text{ref}}$ che collega i punti iniziale e finale è data da:

$s_{\text{ref}}={\sqrt {(p_{{\text{end}},x}-p_{{\text{start}},x})^{2}+(p_{{\text{end}},y}-p_{{\text{start}},y})^{2}}}$

L'altezza dell'arco (sagitta) $h_{\text{ref}}$ è calcolata come:

$h_{\text{ref}}={\frac {s_{\text{ref}}}{2}}\tan \left({\frac {\alpha }{4}}\right)$

A questo punto viene generato rumore gaussianamente distribuito con deviazione standard pari a 0,01 mm. Il rumore viene aggiunto ai punti di partenza e fine in questo modo:

$pn_{\text{start}}=p_{\text{start}}+noise_{\text{start}}$

$pn_{\text{end}}=p_{\text{end}}+noise_{\text{end}}$

ciò allunga o accorcia la corda $s$ nel seguente modo:

${\sqrt {(pn_{end,x}-pn_{start,x})^{2}+(pn_{end,y}-pn_{start,y})^{2}}}$

mentre il rumore sulla sagitta $h_{\text{noise}}$ si calcola come:

$h_{\text{noise}}=h_{\text{ref}}+{\text{noise}}$

Una volta calcolati gli errori per la corda $s$ e la sagitta $h$, possiamo calcolare il raggio con rumore $r_{\text{noise}}$ riutilizzando la formula:

$r_{\text{noise}}={\frac {4h_{\text{noise}}^{2}+s^{2}}{8h_{\text{noise}}}}$

La differenza tra il raggio calcolato con rumore e la distanza originale $r_{\text{var}}$ è data da:

$\delta r_{\text{noise}}=\left|r_{\text{noise}}-r_{\text{var}}\right|$

Al 72° percentile dell'errore di misura, che rappresenta il valore sotto il quale cade il 72% degli errori osservati.

Script Python: Errore localizzazione HA da corda $s$ e sagitta $h$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
r = 90.7  # Radius in mm
s = 12.02  # Length of Arc in mm
alpha = s / r  # Angle in radians
r_var = 26.33  # Distance from the hinge axis in mm

# Calculate start and end points
p_start = np.array([r_var, 0])
p_end = np.array([r_var * np.cos(alpha), r_var * np.sin(alpha)])

# Calculate reference values
s_ref = np.sqrt((p_end[0] - p_start[0])**2 + (p_end[1] - p_start[1])**2)
h_ref = s_ref / 2 * np.tan(alpha / 4)
scale_noise = 0.01  # Reduced noise in mm
samples = 1000  # number of Gaussian samples
noise = scale_noise * np.random.randn(5, samples)

# Add noise to points
pn_start = np.array([p_start[0] + noise[0, :], p_start[1] + noise[1, :]])
pn_end = np.array([p_end[0] + noise[2, :], p_end[1] + noise[3, :]])

# Calculate length of the chord (s) and sagitta (height) (h_noise)
s = np.sqrt((pn_end[0, :] - pn_start[0, :])**2 + (pn_end[1, :] - pn_start[1, :])**2)
h_noise = h_ref + noise[4, :]
r_noise = (4 * h_noise**2 + s**2) / (8 * h_noise)
delta_r_noise = np.abs(r_noise - r_var)

# Calculate the 72nd quantile of the error
error_quantile_reduced_noise = np.quantile(delta_r_noise, 0.72)
print(f'Errore (72° percentile) con rumore ridotto: {error_quantile_reduced_noise:.2f} mm')

# Optional: Plot the distribution of errors
plt.hist(delta_r_noise, bins=30, edgecolor='k', alpha=0.7)
plt.axvline(error_quantile_reduced_noise, color='r', linestyle='dashed', linewidth=1)
plt.title('Distribuzione degli errori di misurazione')
plt.xlabel('Errore (mm)')
plt.ylabel('Frequenza')
plt.show()

Risoluzione del tracciato e fitting dei punti

Il calcolo approssimativo presentato nella sezione precedente considera solo i punti iniziale e finale di un movimento che segue un arco di cerchio, oltre alla distanza del segmento $h$ (oppure, per essere coerenti con altri calcoli, tre punti sulla circonferenza). I dispositivi di misurazione moderni possono registrare le posizioni del movimento mandibolare in intervalli temporali molto ravvicinati ma anche in questo caso non è tutto oro quello che brilla infatti anche per questi modelli il problema si trasferisce alle capacità di campionamento del fenomeno ed ai canali di registrazione ( argomenti che verranno affrontati a tempo debito). Pertanto, non solo i punti iniziale e finale sono noti, ma anche molti altri punti lungo il tracciato possono essere misurati. Si presume che queste informazioni aggiuntive possano migliorare l'accuratezza della determinazione dell'asse di cerniera. In condizioni ideali, tutti questi punti dovrebbero giacere su un segmento di cerchio attorno all'asse di cerniera. Adattando un cerchio a questi punti, l'asse di cerniera può essere determinato con precisione. Tuttavia, l'imprecisione di ciascuna misurazione introduce un'incertezza in ogni punto (Fig. 7). Questo "rumore" influisce sulla rilevazione dell'asse di cerniera.

I migliori algoritmi per ricostruire il movimento rotatorio sono quelli che utilizzano un approccio di ottimizzazione dei minimi quadrati per adattare un cerchio. I metodi più efficaci sono l'adattamento di Taubin o di Pratt, entrambi disponibili in MATLAB. Nel nostro caso, abbiamo utilizzato il metodo di Levenberg-Marquardt.

Metodo di Levenberg-Marquardt: Questo metodo è estremamente versatile e può essere applicato a una vasta gamma di problemi di fitting non lineare, non solo per adattare cerchi ma anche altre curve o superfici. È noto per la sua capacità di convergere anche quando la stima iniziale non è particolarmente vicina alla soluzione ottimale. Questo metodo è un compromesso tra il metodo del gradiente e il metodo di Gauss-Newton, bilanciando efficienza e stabilità. Il metodo di Levenberg-Marquardt è ben supportato da molte librerie di ottimizzazione numerica, come SciPy in Python, il che lo rende una scelta pratica e accessibile per la maggior parte degli utenti. La sua implementazione è relativamente semplice e ben documentata, rendendolo adatto per chiunque desideri eseguire un fitting di curve o superfici in modo rapido. Poiché il problema del fitting di un cerchio è non lineare (a causa della dipendenza quadratica delle coordinate dal centro del cerchio), il metodo di Levenberg-Marquardt è ben attrezzato per gestire queste complessità.

Metodo di Taubin: Il metodo di Taubin, d'altra parte, è particolarmente indicato quando si desidera un fitting di cerchi che sia meno sensibile al rumore e agli errori di misurazione. Questo metodo minimizza l'errore ortogonale, che rappresenta spesso meglio gli errori reali nei dati raccolti sperimentalmente. Se la priorità fosse stata quella di minimizzare l'errore in modo robusto, indipendentemente dalla direzione del fitting, il metodo di Taubin potrebbe essere più appropriato.

La scelta tra Levenberg-Marquardt e Taubin dipende dalle specifiche esigenze del problema e dalle caratteristiche dei dati. Per problemi generici di fitting non lineare con buone stime iniziali e la necessità di una soluzione rapida e pratica, Levenberg-Marquardt è una scelta solida. Tuttavia, per applicazioni più specializzate come il fitting preciso di cerchi o altre coniche, il metodo di Taubin può offrire vantaggi in termini di accuratezza e robustezza.

In conclusione, la simulazione ha mostrato che il metodo di fitting utilizzato è riuscito a stimare con buona precisione sia il centro sia il raggio del cerchio, nonostante la presenza di rumore nei dati. L'errore complessivo è basso, indicando che l'effetto del rumore sul risultato finale è stato minimo. Un errore di $\cong 0.63$ ${\textstyle mm}$ è piuttosto ridotto, il che implica che il fitting è stato accurato nonostante il rumore introdotto nei dati. Questo errore rappresenta la deviazione del centro del cerchio calcolato rispetto al centro reale.

La Figura 7 illustra la dipendenza della determinazione dell'asse di cerniera dalla distanza della posizione di misurazione rispetto al centro di rotazione. Evidenzia inoltre che una misurazione vicina all'ATM (con un piccolo raggio) non offre maggiore accuratezza con il metodo di adattamento del cerchio rispetto a una misurazione effettuata più lontano dall'ATM o vicino alla mascella (ad esempio, al punto incisale). Al contrario, i valori del raggio inferiori a $20$ ${\textstyle mm}$ aumentano significativamente l'imprecisione nella determinazione dell'asse di cerniera. Questo risultato è positivo in un contesto clinico, poiché indica che, anche in presenza di rumore (come può accadere nelle misurazioni reali), è possibile stimare con precisione $_{t}HA$ e il raggio associato, che sono fondamentali per la diagnosi e il trattamento riabilitativo dei pazienti.

• 

  Figura 7:

Formalismo matematico: Errore di fitting

Per illustrare il concetto di errore dovuto al rumore nella determinazione dei punti della curva, i passaggi matematici preliminari sono i seguenti (segui Figura 7, rappresentata in Geogebra).

Lo script inizia definendo il centro del cerchio originale con le coordinate:

$O_{HA}={\begin{pmatrix}11.55\\61.14\end{pmatrix}}$

Questo centro rappresenta il punto centrale attorno al quale verrà costruito un cerchio.

Il raggio del cerchio viene impostato a $r=26.38$ mm. Questo valore rappresenta la distanza dal centro ai punti sul bordo del cerchio. Usando il centro e il raggio, vengono generati 10 punti distribuiti uniformemente lungo la circonferenza del cerchio. Gli angoli $\theta$ utilizzati per posizionare i punti sono distribuiti da $0$ a $2\pi$. Per ogni angolo, le coordinate dei punti vengono calcolate utilizzando le formule parametriche del cerchio:

$x=x_{c}+r\cdot \cos(\theta )$

$y=y_{c}+r\cdot \sin(\theta )$

Una funzione chiamata `add_noise_to_points` viene utilizzata per aggiungere rumore ai punti generati. Il rumore è generato da una distribuzione normale (o gaussiana) con media zero e deviazione standard pari a $0.1$ unità. Questo passaggio simula gli errori di misurazione che possono verificarsi nella pratica. I punti disturbati dal rumore vengono memorizzati nella variabile `noisy_points`.

La funzione `residuals` è definita per calcolare i residui, ovvero la differenza tra la distanza di ciascun punto rumoroso dal centro stimato e il raggio stimato. Questa funzione è essenziale per l'ottimizzazione, poiché il fitting del cerchio mira a minimizzare questi residui:

$R_{i}={\sqrt {(x_{i}-x_{c})^{2}+(y_{i}-y_{c})^{2}}}-r$

dove $R_{i}$ è il residuo per il punto $i$-esimo.

Viene fatta una stima iniziale del centro del cerchio rumoroso, calcolando la media delle coordinate dei punti rumorosi:

$x_{m}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$,

$y_{m}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}$

Questa media viene utilizzata come punto di partenza per il fitting.

Raggio Iniziale

Il raggio iniziale viene stimato come la media delle distanze tra ciascun punto rumoroso e il centro stimato:

$r_{m}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x_{i}-x_{m})^{2}+(y_{i}-y_{m})^{2}}}$

Questo valore approssimato viene utilizzato come raggio iniziale per l'ottimizzazione.

Fitting del Cerchio con il Metodo di Levenberg-Marquardt

• Ottimizzazione del Fitting:

La funzione `least_squares` della libreria SciPy viene utilizzata per eseguire il fitting del cerchio. Questo metodo minimizza i residui calcolati precedentemente, cercando di trovare i valori ottimali per le coordinate del centro $(x_{c},y_{c})$ e per il raggio $r$. I risultati dell'ottimizzazione vengono restituiti come il centro calcolato $(x_{c},y_{c})$ e il raggio $r$.

Calcolo dell'Errore

• Errore tra i Centri:

Viene calcolata la distanza tra il centro calcolato e il centro originale. Questa distanza rappresenta l'errore di localizzazione, ovvero quanto il centro calcolato si discosta dal centro reale a causa del rumore:

${\text{error}}={\sqrt {(x_{c}-x_{\text{original}})^{2}+(y_{c}-y_{\text{original}})^{2}}}$

L'errore viene poi convertito in millimetri se le unità originali erano in centimetri, per una maggiore precisione interpretativa.

Script Python: Errore di fitting

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares
import matplotlib.pyplot as plt

# Dati originali forniti
original_center = np.array([11.56, 61.21])
radius = 26.38
angles = np.linspace(0, 2 * np.pi, 10)
points = np.array([
    original_center + radius * np.array([np.cos(angle), np.sin(angle)])
    for angle in angles
])

# Funzione per aggiungere rumore ai punti
def add_noise_to_points(points, noise_level):
    noisy_points = points + np.random.normal(0, noise_level, points.shape)
    return noisy_points

# Aggiungi rumore ai punti
noise_level = 0.1  # Livello di rumore ridotto
noisy_points = add_noise_to_points(points, noise_level)

# Funzione residua per il fitting non lineare
def residuals(c, points):
    xc, yc, r = c
    Ri = np.sqrt((points[:, 0] - xc)**2 + (points[:, 1] - yc)**2)
    return Ri - r

# Calcolo del centro e del raggio usando i punti rumorosi
x_m = np.mean(noisy_points[:, 0])
y_m = np.mean(noisy_points[:, 1])
r_m = np.mean(np.sqrt((noisy_points[:, 0] - x_m)**2 + (noisy_points[:, 1] - y_m)**2))
initial_guess = [x_m, y_m, r_m]

# Fitting del cerchio usando il metodo di Levenberg-Marquardt
result = least_squares(residuals, initial_guess, args=(noisy_points,))
xc, yc, r = result.x

calculated_center = np.array([xc, yc])

# Calcolo dell'errore tra i centri
error = np.linalg.norm(calculated_center - original_center)
error_mm = error * 10  # Convertire in millimetri (tenendo conto che i punti potrebbero essere in centimetri)

# Verifica del centro calcolato
print(f'Calculated Center: {calculated_center}')
print(f'Radius: {r:.4f}')
print(f'Error: {error_mm:.4f} mm')

# Visualizzazione del cerchio calcolato
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
x_fit = calculated_center[0] + r * np.cos(theta)
y_fit = calculated_center[1] + r * np.sin(theta)

plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.scatter(points[:, 0], points[:, 1], color='b', label='Original Points')
plt.scatter(noisy_points[:, 0], noisy_points[:, 1], color='r', label='Noisy Points')
plt.scatter(original_center[0], original_center[1], color='r', marker='x', s=100, label='Original Center')
plt.plot(x_fit, y_fit, 'g--', label='Fitted Circle')
plt.scatter(calculated_center[0], calculated_center[1], color='g', label='Calculated Center')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.title('Fitting del Cerchio con Punti Rumorosi')
plt.grid(True)
plt.show()

Distorsioni occlusali

In odontoiatria e gnatologia, la comprensione precisa dei movimenti mandibolari è fondamentale per la progettazione di protesi dentarie accurate. Uno dei concetti chiave in questo campo è prorpio $_{t}HA$ che rappresenta l'asse attorno al quale la mandibola ruota durante i primi millimetri di apertura della bocca. La corretta localizzazione dello $_{t}HA$ è essenziale per ottenere un movimento mandibolare naturale e una corretta occlusione dentale. La localizzazione inaccurata dello $_{t}HA$ può portare a errori significativi nella posizione finale delle cuspidi dentali. Le cuspidi sono le punte dei denti che si interdigitano tra i denti superiori e inferiori durante la masticazione. Se lo $_{t}HA$ non è correttamente localizzato, soprattutto in presenza di cuspidi inclinate, l'errore può manifestarsi come una discrepanza tra la posizione prevista delle cuspidi e quella effettiva. Questo può compromettere l'efficacia dei trattamenti dentali e portare a malocclusioni o discomfort per il paziente.

L'obiettivo della simulazione è esplorare e quantificare come l'errore nella localizzazione dello $_{t}HA$ influisca sulla posizione delle cuspidi dentali, considerando due scenari specifici:

• Apertura Mandibolare di $0$ ${\textstyle mm}$: Questo parametro rappresenta il modello di registrazione centrica senza cere interposte tra le arcate. Con apertura di $0$ ${\textstyle mm}$ l'errore cuspidale è teoricamente nullo se le cuspidi fossero piatte,, tuttavia, se le cuspidi fossero inclinate l'errore potrebbe non essere nullo a causa dell'inclinazione stessa.
• Apertura Mandibolare di $3$ ${\textstyle mm}$: Questo parametro, invece, rappresenta il modello di registrazione centrica con cere interposte tra le arcate che generano una apertura mandibolare di $3$ ${\textstyle mm}$. In questa condizione, anche un piccolo errore nella localizzazione dello $_{t}HA$ può provocare un significativo errore cuspidale, aggravato dall'inclinazione delle cuspidi dentali.

Risultati della Simulazione

Per affrontare questo problema, utilizziamo modelli matematici e simulazioni al computer per calcolare come un errore nella localizzazione dello $_{t}HA$ si traduca in errori nelle posizioni finali delle cuspidi dentali. Utilizziamo diverse magnitudini di errore di localizzazione del $_{t}HA$ (fino a $10$ ${\textstyle mm}$) e analizziamo l'effetto di queste discrepanze sia con registrazioni centriche senza cera a bocca chiusa ($0$ ${\textstyle mm}$ ) che con una leggera apertura della bocca ($3$ ${\textstyle mm}$). Inoltre, consideriamo l'inclinazione delle cuspidi dentali, simulando errori su cuspidi inclinate di $0^{\circ }$ e $5^{\circ }$ per rendere il modello più realistico e applicabile alle condizioni cliniche effettive. Questo approccio ci consente di comprendere meglio come l'errore di localizzazione influisca sul risultato finale e ci fornisce indicazioni preziose per migliorare la precisione nelle pratiche odontoiatriche.

In sostanza con una apertura di $0$ ${\textstyle mm}$ nelle registrazioni centriche senza cera, cuspidi non inclinate ($0^{\circ }$) ed errore di $_{t}HA$ di $10$ ${\textstyle mm}$ step di $10$ passi da $0$ ${\textstyle mm}$ a $10$ ${\textstyle mm}$ l'errore cuspidale è $0$ ${\textstyle mm}$. Con una apertura mandibolare $3$ ${\textstyle mm}$ cuspidi dentali piatte ($0^{\circ }$) l'errore cuspidale in questo caso va da $0$ ${\textstyle mm}$ in una situazione di esattezza nella localizzazione dello $_{t}HA$ a $1$ ${\textstyle mm}$ con un errore di $10$ ${\textstyle mm}$ di localizzazione dello $_{t}HA$. Tuttavia anche se riuscissimo a eseguire una registrazione centrica senza cere con apertura mandibolare di $0$ ${\textstyle mm}$, con le cuspidi dentali inclinate di soli $5^{\circ }$ questa condizione introduce un errore cuspidale verticale a causa della proiezione dell'errore di localizzazione l$_{t}HA$ ungo l'inclinazione delle cuspidi. L'errore in questo caso ha un range che va da $0$ ${\textstyle mm}$ in una situazione di esattezza nella localizzazione dello $_{t}HA$ a $0.87$ ${\textstyle mm}$ in un errore di $10$ ${\textstyle mm}$ di localizzazione dello $_{t}HA$.

Script Pyhton: Errore Cuspidale con Apertura a 0 mm e Cuspidi Piatte'

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definizione dei dati originali
original_center = np.array([11.56, 61.21])  # Centro originale del cerchio
r = 26.38  # Raggio del cerchio originale
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 10)  # 10 punti lungo la circonferenza

# Generazione dei punti originali sulla circonferenza
points = np.array([
    original_center + r * np.array([np.cos(angle), np.sin(angle)])
    for angle in theta
])

# Definizione del raggio per la posizione delle cuspidi dentali
cusp_radius = 75.0  # Distanza della cuspide dal centro di rotazione

# Generazione delle posizioni delle cuspidi dentali originali
cusp_positions = np.array([
    original_center + cusp_radius * np.array([np.cos(angle), np.sin(angle)])
    for angle in theta
])

# Simulazione degli errori Δ
errors = np.linspace(0, 10, 10)  # Errori Δ da 0 a 10 mm, 10 passi
max_differences_zero_apertura = []

# Errore cuspidale per apertura mandibolare a 0 mm è zero
for delta in errors:
    max_differences_zero_apertura.append(0)  # Errore cuspidale è zero

plt.plot(errors, max_differences_zero_apertura, 'ro-', label='Apertura 0 mm (Bocca chiusa)')
plt.xlabel('Errore Δ (mm) nella localizzazione HA')
plt.ylabel('Max Difference in Cusp Positions (mm)')
plt.title('Errore Cuspidale con Apertura a 0 mm e Cuspidi Piatte')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Script Pyhton: Errore Cuspidale con Apertura a 3 mm e Cuspidi Piatte

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definizione dei dati originali
original_center = np.array([11.56, 61.21])  # Centro originale del cerchio
r = 26.38  # Raggio del cerchio originale
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 10)  # 10 punti lungo la circonferenza

# Generazione dei punti originali sulla circonferenza
points = np.array([
    original_center + r * np.array([np.cos(angle), np.sin(angle)])
    for angle in theta
])

# Definizione del raggio per la posizione delle cuspidi dentali
cusp_radius = 75.0  # Distanza della cuspide dal centro di rotazione

# Generazione delle posizioni delle cuspidi dentali originali
cusp_positions = np.array([
    original_center + cusp_radius * np.array([np.cos(angle), np.sin(angle)])
    for angle in theta
])

# Simulazione degli errori Δ
errors = np.linspace(0, 10, 10)  # Errori Δ da 0 a 10 mm, 10 passi
max_differences_apertura_3mm = []

# Calcolo dell'errore cuspidale per apertura mandibolare a 3 mm
for delta in errors:
    new_center = original_center + np.array([delta, 0])  # Spostamento lungo l'asse x
    
    # Calcolo delle nuove posizioni delle cuspidi dentali con l'errore Δ
    new_cusp_positions = np.array([
        new_center + cusp_radius * np.array([np.cos(angle), np.sin(angle)])
        for angle in theta
    ])
    
    # Calcolo delle differenze spaziali tra le posizioni originali e quelle calcolate
    differences = np.linalg.norm(cusp_positions - new_cusp_positions, axis=1)
    max_difference = np.max(differences) * (3 / 30)  # Scala dell'errore per un'apertura di 3 mm su 18 mm massimi
    max_differences_apertura_3mm.append(max_difference)
    
    print(f"Errore Δ = {delta:.1f} mm: Max Difference in Cusp Positions (3 mm apertura) = {max_difference:.2f} mm")

plt.plot(errors, max_differences_apertura_3mm, 'bo-', label='Apertura 3 mm')
plt.xlabel('Errore Δ (mm) nella localizzazione HA')
plt.ylabel('Max Difference in Cusp Positions (mm)')
plt.title('Errore Cuspidale con Apertura a 3 mm e Cuspidi Piatte')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Script Python: Effetto degli Errori di Localizzazione del Centro di Rotazione con on Apertura a 0 mm e Cuspidi Inclinate $5^{\circ }$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definizione dei dati originali
original_center = np.array([11.56, 61.21])  # Centro originale del cerchio
r = 26.38  # Raggio del cerchio originale
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 10)  # 10 punti lungo la circonferenza

# Generazione dei punti originali sulla circonferenza
points = np.array([
    original_center + r * np.array([np.cos(angle), np.sin(angle)])
    for angle in theta
])

# Definizione del raggio per la posizione delle cuspidi dentali
cusp_radius = 75.0  # Distanza della cuspide dal centro di rotazione

# Generazione delle posizioni delle cuspidi dentali originali
cusp_positions = np.array([
    original_center + cusp_radius * np.array([np.cos(angle), np.sin(angle)])
    for angle in theta
])

# Simulazione degli errori Δ
errors = np.linspace(0, 10, 10)  # Errori Δ da 0 a 10 mm, 10 passi
max_differences_inclined_cusp = []

# Definizione dell'angolazione delle cuspidi dentali (in gradi)
cusp_angle_deg = 5  
cusp_angle_rad = np.deg2rad(cusp_angle_deg)  # Conversione in radianti

# Calcolo dell'errore cuspidale per apertura mandibolare a 0 mm con cuspidi inclinate
for delta in errors:
    # Calcolo dell'errore verticale dovuto all'inclinazione delle cuspidi
    vertical_error_due_to_inclination = delta * np.tan(cusp_angle_rad)
    
    # Salviamo l'errore massimo in questo caso specifico
    max_differences_inclined_cusp.append(vertical_error_due_to_inclination)
    
    print(f"Errore Δ = {delta:.1f} mm: Max Difference in Cusp Positions con cuspidi inclinate = {vertical_error_due_to_inclination:.2f} mm")

plt.plot(errors, max_differences_inclined_cusp, 'ro-', label=f'Cuspidi inclinate ({cusp_angle_deg}°)')
plt.xlabel('Errore Δ (mm) nella localizzazione HA')
plt.ylabel('Max Difference in Cusp Positions (mm)')
plt.title(f'Effetto degli Errori di Localizzazione del Centro di Rotazione con Cuspidi Inclinate ({cusp_angle_deg}°)')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Discussione

Nel contesto di questo capitolo, è emersa una delle più profonde tensioni che caratterizzano la gnatologia moderna: l'importanza dei '6 gradi di libertà' nel garantire un'efficienza masticatoria ottimale e la crescente tendenza del 'RDC' a escludere gli strumenti cinematici mandibolari dalla pratica clinica. Mentre lo 'RDC' ha come obiettivo dichiarato quello di migliorare l'efficacia diagnostica eliminando metodologie con scarsa validità clinica, l’asserzione di eliminare i replicatori cinematici dalla prassi odontoiatrica appare controversa. Questo perché la cinematica mandibolare rappresenta un elemento fondamentale per comprendere non solo i movimenti mandibolari ma anche le forze masticatorie che influenzano la durata e l’efficacia masticatoria.

L'efficienza masticatoria, per esempio, non dipende esclusivamente dalla forza applicata dai muscoli o dalla robustezza della struttura dentale, ma anche dalla capacità della mandibola di muoversi attraverso i suoi '6 gradi di libertà',permettendo il corretto funzionamento dei denti nel taglio e nella triturazione degli alimenti. Ogni grado di libertà—tre traslazioni (lungo gli assi $x,y,z$) e tre rotazioni (attorno agli stessi assi)—contribuisce alla complessa interazione tra superfici dentali e forze muscolari, che a sua volta è influenzata dalle forze normali e tangenziali generate dal contatto occlusale. Nel caso dei denti molari, la normale inclinazione delle cuspidi permette di ridurre la dispersione di energia metabolica durante il processo di taglio degli alimenti, massimizzando l'efficienza masticatoria. Senza questa inclinazione naturale, la masticazione diventerebbe meno efficiente, portando a un maggiore dispendio energetico e a un carico muscolare e articolare più elevato. Come mostrato nelle simulazioni precedenti, un'errata localizzazione dell'asse cerniera trasversale ($_{t}HA$) può influire significativamente sulla precisione delle cuspidi e, quindi, sul corretto allineamento dei denti durante il contatto occlusale.

L’argomento del 'RDC' si basa sull’assunto che gli strumenti cinematici mandibolari, come i replicatori gnatologici e i pantografi, non contribuiscano in maniera determinante al miglioramento delle riabilitazioni protesiche. Tuttavia, questa affermazione appare discutibile alla luce delle evidenze biomeccaniche e cliniche. In particolare, gli strumenti diagnostici che permettono di analizzare i movimenti mandibolari in modo tridimensionale, come i sistemi SICAT JMT e Zebris JMA, hanno mostrato che il movimento mandibolare non è puramente rotatorio, ma coinvolge una componente di 'rototraslazione'. Questa combinazione di movimento è cruciale per replicare fedelmente il funzionamento mandibolare, soprattutto in pazienti con complesse problematiche occlusali. La cinematica mandibolare permette di comprendere in modo più approfondito non solo l’angolo di contatto occlusale, ma anche come le forze muscolari e le resistenze dentali si bilanciano durante il ciclo masticatorio. Lo 'RDC tende a sostenere l’idea che gli strumenti di analisi tridimensionale siano troppo costosi, complessi e poco utili nella pratica quotidiana. Tuttavia, i dati presentati in questo capitolo indicano il contrario: l’uso di tali strumenti può prevenire errori significativi nella riabilitazione protesica e migliorare l’efficacia della terapia.

Nelle simulazioni presentate, abbiamo dimostrato che anche un piccolo errore nella localizzazione dello $_{t}HA$ può portare a discrepanze significative nella posizione delle cuspidi dentali. In particolare, con un’apertura mandibolare di soli 3 mm e cuspidi inclinate di $5^{\circ }$, un errore nella localizzazione dell'asse di 10 mm può causare un errore cuspidale verticale di quasi 1 mm. Sebbene questo possa sembrare un valore minimo, si tratta di una discrepanza sufficiente a compromettere l'efficacia della protesi e a provocare disagio nel paziente.

D’altra parte, con un’apertura mandibolare di 0 mm (bocca chiusa), l’errore cuspidale è teoricamente nullo solo nel caso di cuspidi piatte ($0^{\circ }$), mentre con cuspidi inclinate anche di pochi gradi, si introduce comunque un margine di errore dovuto alla proiezione dell’errore sull’inclinazione stessa. Questo dimostra che, senza un'analisi cinematica accurata, è impossibile garantire un corretto allineamento delle cuspidi e delle superfici occlusali, con ripercussioni significative sulla funzionalità masticatoria del paziente.

Alla luce delle osservazioni fatte, è evidente che l’esclusione degli strumenti cinematici dalla pratica clinica, come suggerito dallo RDC, non è una scelta scientificamente fondata. Gli strumenti cinematici offrono una comprensione unica dei movimenti mandibolari, consentendo ai clinici di replicare accuratamente i movimenti mandibolari e di garantire un trattamento protesico di qualità superiore. L’eliminazione di tali strumenti dalla clinica potrebbe ridurre la precisione nella diagnosi e nel trattamento, portando a un aumento del rischio di malocclusioni, disturbi temporomandibolari e discomfort per il paziente.

I dati presentati dimostrano chiaramente che la determinazione dell'asse cerniera trasversale ($_{t}HA$) e il controllo dei movimenti rototraslatori sono cruciali per minimizzare la dispersione di energia e ottimizzare l’efficienza masticatoria. L’inclinazione delle cuspidi, il corretto allineamento delle superfici occlusali e la precisione nella localizzazione dell'asse di rotazione devono essere trattati con la massima attenzione per evitare errori che possano compromettere l’esito clinico.

In conclusione, sebbene lo RDC sostenga che gli strumenti cinematici non siano essenziali per la pratica clinica quotidiana, le prove scientifiche presentate indicano che tali strumenti sono invece fondamentali per ottenere un’accurata valutazione e riabilitazione della funzionalità masticatoria. Eliminare questi strumenti dalla pratica clinica non solo ridurrebbe la precisione diagnostica, ma comprometterebbe anche la qualità delle cure fornite ai pazienti. È quindi essenziale che i professionisti continuino a integrare l’uso di strumenti cinematici avanzati nella loro pratica per garantire un trattamento protesico ottimale e un’elevata qualità della vita per i pazienti.

«Ma allora, è sufficiente conoscere solo la dinamica dello $_{t}HA$?»
(.....certo che no. Il fenomeno cinematico mandibolare essendo una dinamica a 6 gradi di libertà richiede di conoscere obligatoriamente anche l'asse verticale $_{a}HA$ sul piano assiale e l'asse sagittale $_{c}HA$ dsul piano coronale. Argomenti che affronteremo nei prossimi capitoli)

Bibliography & references